Haz hiperbólico de circunferencias

Las infinitas circunferencias de un haz de circunferencias hiperbólico son ortogonales a la que tiene su centro en el del haz, O, y radio la potencia desde este punto a cualquiera de las circunferencias. Los puntos límites son circunferencias del haz de radio nulo.
El eje radical de las circunferencias es el lugar geométrico de puntos del plano que tienen igual potencia respecto de ambas circunferencias. Esta recta es perpendicular a la que contiene los centros de las circunferencias, y contiene a los centros de las circunferencias ortogonales (perpendiculares) a las del haz.

Circunferencia del haz hiperbólico que pasa por un punto P
De las infinitas circunferencias de un haz elíptico, la que pasa por un punto P dado se determina mediante la intersección de dos lugares geométricos: la recta base y el eje radical del punto de paso y una circunferencia ortogonal al haz (cualquiera de las que pasa por los puntos límites).



Circunferencias del haz hiperbólico que son tangentes a una recta dada
Para resolver el problema buscaremos un punto Cr, del eje radical que tenga igual potencia respecto de las circunferencias del haz, y que pertenezca, a su vez, a la recta ya que ésta última es el eje radical de las circunferencias que le son tangentes. Vemos pues, que Cr es el centro radical de la recta t (circunferencia de radio infinito) y las circunferencias del haz parabólico.



Circunferencias del haz hiperbólico que son tangentes a una circunferencia dada  
De nuevo determinaremos un punto Cr que tenga igual potencia respecto de la circunferencia que marca la condición de tangencia y cualquiera de las del haz hiperbólico (por ejemplo los puntos límites), por lo que debe encontrarse en su eje radical. Las soluciones pasarán por los puntos T1 y T2 situados sobre las tangentes trazadas desde Cr, ya que se encuentran a distancia la raíz de la potencia que hemos calculado como en el caso anterior.


Fuente:  piziadas.com

Hilos sueltos...

Otro hilo suelto de la serie "algo que no entendí en clase".
La construcción muestra que la potencia del punto P respecto de cualquier circunferencia que pasa por los puntos A y B es la misma. Sobre esta idea nos apoyaremos próximanente para explicar el Problema Fundamental de Tangencias

Algo que no entendí en clase

A veces, no está mal no entenderlo todo en clase. Los hilos sueltos abren vías de curiosidad y trabajo personal.
La construcción de la imagen inferior muestra que la inversa de una recta t´ (en azul) que no pasa por el centro de inversión I es una circunferencia que sí pasa por el centro I, y que tiene su centro en la perpendicular desde el centro de inversión a dicha recta.
Por ser la inversión una transformación involutiva, la inversa de una circunferencia que pasa por el centro de inversión, es una recta que no pasa por él, de dirección perpendicular al diámetro que contiene al centro de inversión.

Problema de tangencias

Ejercicio: dados dos puntos, A y B, y una recta f, trazar la circunferencia que pasando por ellos es tangente a la recta dada.