Haz hiperbólico de circunferencias

Las infinitas circunferencias de un haz de circunferencias hiperbólico son ortogonales a la que tiene su centro en el del haz, O, y radio la potencia desde este punto a cualquiera de las circunferencias. Los puntos límites son circunferencias del haz de radio nulo.
El eje radical de las circunferencias es el lugar geométrico de puntos del plano que tienen igual potencia respecto de ambas circunferencias. Esta recta es perpendicular a la que contiene los centros de las circunferencias, y contiene a los centros de las circunferencias ortogonales (perpendiculares) a las del haz.

Circunferencia del haz hiperbólico que pasa por un punto P
De las infinitas circunferencias de un haz elíptico, la que pasa por un punto P dado se determina mediante la intersección de dos lugares geométricos: la recta base y el eje radical del punto de paso y una circunferencia ortogonal al haz (cualquiera de las que pasa por los puntos límites).



Circunferencias del haz hiperbólico que son tangentes a una recta dada
Para resolver el problema buscaremos un punto Cr, del eje radical que tenga igual potencia respecto de las circunferencias del haz, y que pertenezca, a su vez, a la recta ya que ésta última es el eje radical de las circunferencias que le son tangentes. Vemos pues, que Cr es el centro radical de la recta t (circunferencia de radio infinito) y las circunferencias del haz parabólico.



Circunferencias del haz hiperbólico que son tangentes a una circunferencia dada  
De nuevo determinaremos un punto Cr que tenga igual potencia respecto de la circunferencia que marca la condición de tangencia y cualquiera de las del haz hiperbólico (por ejemplo los puntos límites), por lo que debe encontrarse en su eje radical. Las soluciones pasarán por los puntos T1 y T2 situados sobre las tangentes trazadas desde Cr, ya que se encuentran a distancia la raíz de la potencia que hemos calculado como en el caso anterior.


Fuente:  piziadas.com

Homología y Sistema Cónico

Esta entrada está dedicada a explicar la línea didáctica y metodológica que he seguido durante las Prácticas Docentes Externas del Master con los alumnos de 1º y 2º de Bachillerato en las dos unidades didácticas que he desarrollado, relativas a Sistema Cónico, y Homología y Afinidad, y que ha tenido como objetivo relacionar conceptualmente los contenidos de ambas unidades.

En la figura inferior vemos que, en la perspectiva cónica, una figura apoyada en el plano geometral y su proyección en el plano del cuadro pueden entenderse como secciones de una radiación, por lo que son homólogas ente sí:
- los pares de puntos homólogos están alineados con el centro de homología, que se corresponde con el punto de vista V;
- las rectas homólogas se cortan en puntos de una recta que es la intersección de los planos bases de las formas, llamada eje de homología, y que se corresponde con la línea de tierra.

En una homología entre formas planas, se llama recta límite de una de las formas a la que contiene a los homólogos de los puntos infinitamente alejados de la otra. La línea del horizonte en el plano del cuadro es recta límite porque es homóloga de los puntos impropios del plano geometral, mientras que la línea de desvanecimiento del plano geometral es recta límite por ser homóloga de los puntos impropios del plano del cuadro.

Si abatimos el plano geometral sobre el plano del cuadro (según la figura inferior), tomando como charnela la línea de tierra, el triángulo ABC y su abatido (A)(B)(C) son también homológicos, según una afinidad definida por un eje (la línea de tierra) y un centro infinitamente alejado en dirección perpendicular al plano bisector entre plano geometral y plano del cuadro.

Como entre ABC y A´B´C´existe una homología, y también existe entre ABC y (A)(B)(C), por el teorema de las tres homologías podemos decir que también son homológicas A´B´C´ y (A)(B)(C). El eje de las tres homologías es la línea de tierra. Los centros de las tres han de estar alineados. Como A´B´C´ y (A)(B)(C) están en el plano del cuadro, también lo ha de estar su centro, que es lógicamente el punto (V), abatimiento del punto de vista V sobre el plano del cuadro.

Fuentes:
- Perspectiva Cónica. Sofía Herrero, Mónica Gómez-Pompa.
- Geometría Descriptiva. Fernando Izquierdo Asensi.
Link:
-  En pespuntos.blogspot.com.es, ver la entrada dedicada al Teorema de Desargues, donde se demuestra, a través de dos construcciones dinámicas de Geogebra, que las dos condiciones que definen la Homología son en realidad consecuencia una de la otra. (Gracias y felicitaciones a la autora ;)

Algo que no entendí en clase

A veces, no está mal no entenderlo todo en clase. Los hilos sueltos abren vías de curiosidad y trabajo personal.
La construcción de la imagen inferior muestra que la inversa de una recta t´ (en azul) que no pasa por el centro de inversión I es una circunferencia que sí pasa por el centro I, y que tiene su centro en la perpendicular desde el centro de inversión a dicha recta.
Por ser la inversión una transformación involutiva, la inversa de una circunferencia que pasa por el centro de inversión, es una recta que no pasa por él, de dirección perpendicular al diámetro que contiene al centro de inversión.

Feliz 2017

Hola a tod@s,
dejo aquí un móvil navideño hecho con Blender, como tarjeta de felicitación para todos vosotros!
FELIZ 2017

Verdadera magnitud de un segmento en diédrico

Hola a tod@s, de nuevo!
Aquí viene la segunda entrega prometida en la entrada anterior, sobre el cálculo de la verdadera magnitud de un segmento en diédrico.

Verdadera magnitud de un segmento en diédrico, introducción

Hola a tod@s,
como paso previo a una próxima entrada donde explicaremos en detalle cómo calcular la verdadera magnitud de un segmento en diédrico, os dejo esta construcción de la operación básica que utilizaremos: el abatimiento. Fijaos en que consiste simplemente en la construcción de un triángulo pitagórico en el plano horizontal!

Paso 1: segmento AB en el espacio.
Paso 2: Abatimiento del triángulo ABC, respecto del eje AC.
Paso 3: Verdadera magnitud de AB medida sobre el plano horizontal.

Solución al problema del hexágono

Hola a tod@s,

aquí os dejo el problema planteado en la entrada anterior... CASI terminado!!



Completa la proyección vertical del hexágono y serás el Primer Rey del Compás!!

Problema del hexágono, enunciado

Hola a tod@s!
Para practicar en el sistema diédrico, hoy os planteo un ejercicio: conocido el lado AB de un hexágono, y solo una proyección de su vértice C, dibujar las proyecciones del hexágono.

¿Fácil?
A por la insignia!!!

Ejercicio de clase: sistema diédrico

El Rey del Compás!

Hola a tod@s!

Hoy os presento a... El Rey del Compás!

Si queréis saber cómo podéis llegar a ser Rey del Compás, obtener el distintivo Real y ser investidos con los honores del cargo...
                             permaneced a la escucha!!

Problema de tangencias

Ejercicio: dados dos puntos, A y B, y una recta f, trazar la circunferencia que pasando por ellos es tangente a la recta dada.

Tales en perspectiva, II: solución

Arquitectos, aquí va la solución!
Como vimos en la entrada anterior, es necesario construir una nueva escala gráfica, que relacione las unidades de medida originales (de 1 cm) con las unidades de medida modificadas (de 1,5 cm). Esto lo hacemos con la ayuda de Tales, construyendo triángulos semejantes.



No olvidéis que el concepto de semejanza va asociado al de escala. Dos formas semejantes (igual forma pero diferente tamaño) sólo varían en la escala de su representación.

Tales en perspectiva, II

Continuamos con el tema de la primera entrada, hablando del concepto de escala.
Se habla de escala de representación gráfica para indicar la relación entre unidades de medida en el dibujo y unidades de medida en la realidad física. La escala es un elemento clave en la representación de planos de arquitectura. Por ejemplo, la escala 1/100 quiere decir que 1 cm dibujado en el plano equivale a 100 cm en la realidad.

Ahora, vamos a plantear nuestro primer ejercicio. Imaginemos que somos arquitectos. Nos han enviado el siguiente plano:

¿Ves la escala arriba a la izquierda? Pero al medir con la regla en la escala gráfica, vemos que entre el 0 y el 1 hay... 1,5 centímetros!!
¿Cómo podemos medir entonces en el papel? ¿Podríamos construir una regla especial y única para nosotros, que nos permita medir en el papel?

La solución, en breve... Permanece a la escucha!!

Tales en perspectiva, I

El Teorema de Tales establece la relación geométrica entre triángulos semejantes. La relación de semejanza entre dos o más triángulos lleva consigo necesariamente la proporcionalidad entre sus lados.

 

Representación gráfica del Teorema de Tales

El teorema de Thales establece la noción de semejanza entre dos triángulos relacionando la longitud de dos de sus lados. Permite definir un invariante proyectivo de aplicación a los sistemas de proyección cilíndricos: La razón simple.

Si cortamos dos rectas cualesquiera por varias rectas paralelas,los segmentos correspondientes en ambas son proporcionales,es decir, se corresponden en la igualdad ,en la suma y en la resta. 

Si por un triángulo se traza una línea paralela a cualquiera de sus lados, se obtienen dos triángulos semejantes.

El teorema establece las siguientes igualdades entre los cocientes de dos lados homólogos en dos triángulos semejantes:

• m/n = m’/n’
• m/n = (m+m’)/(n+n’)
• n/p = (n+n’)/p’ 

Os dejo aquí la fuente de consulta, donde encontraréis más información: es el blog http://piziadas.com, de José Juan Aliaga.

Hola a tod@s!

Hola a tod@s!

A través de este blog explicaremos principios de dibujo, geométricos y matemáticos, además de compartir todo aquello que tenga que ver de algún modo con la expresión gráfica y artística.

Espero que aprendamos y lo pasemos bien.

 

 Diagrama con la geometría de los elementos básicos de la perspectiva lineal.

Perspective for Artist, Rex Vicat Cole