Haz hiperbólico de circunferencias

Las infinitas circunferencias de un haz de circunferencias hiperbólico son ortogonales a la que tiene su centro en el del haz, O, y radio la potencia desde este punto a cualquiera de las circunferencias. Los puntos límites son circunferencias del haz de radio nulo.
El eje radical de las circunferencias es el lugar geométrico de puntos del plano que tienen igual potencia respecto de ambas circunferencias. Esta recta es perpendicular a la que contiene los centros de las circunferencias, y contiene a los centros de las circunferencias ortogonales (perpendiculares) a las del haz.

Circunferencia del haz hiperbólico que pasa por un punto P
De las infinitas circunferencias de un haz elíptico, la que pasa por un punto P dado se determina mediante la intersección de dos lugares geométricos: la recta base y el eje radical del punto de paso y una circunferencia ortogonal al haz (cualquiera de las que pasa por los puntos límites).



Circunferencias del haz hiperbólico que son tangentes a una recta dada
Para resolver el problema buscaremos un punto Cr, del eje radical que tenga igual potencia respecto de las circunferencias del haz, y que pertenezca, a su vez, a la recta ya que ésta última es el eje radical de las circunferencias que le son tangentes. Vemos pues, que Cr es el centro radical de la recta t (circunferencia de radio infinito) y las circunferencias del haz parabólico.



Circunferencias del haz hiperbólico que son tangentes a una circunferencia dada  
De nuevo determinaremos un punto Cr que tenga igual potencia respecto de la circunferencia que marca la condición de tangencia y cualquiera de las del haz hiperbólico (por ejemplo los puntos límites), por lo que debe encontrarse en su eje radical. Las soluciones pasarán por los puntos T1 y T2 situados sobre las tangentes trazadas desde Cr, ya que se encuentran a distancia la raíz de la potencia que hemos calculado como en el caso anterior.


Fuente:  piziadas.com

Homología y Sistema Cónico

Esta entrada está dedicada a explicar la línea didáctica y metodológica que he seguido durante las Prácticas Docentes Externas del Master con los alumnos de 1º y 2º de Bachillerato en las dos unidades didácticas que he desarrollado, relativas a Sistema Cónico, y Homología y Afinidad, y que ha tenido como objetivo relacionar conceptualmente los contenidos de ambas unidades.

En la figura inferior vemos que, en la perspectiva cónica, una figura apoyada en el plano geometral y su proyección en el plano del cuadro pueden entenderse como secciones de una radiación, por lo que son homólogas ente sí:
- los pares de puntos homólogos están alineados con el centro de homología, que se corresponde con el punto de vista V;
- las rectas homólogas se cortan en puntos de una recta que es la intersección de los planos bases de las formas, llamada eje de homología, y que se corresponde con la línea de tierra.

En una homología entre formas planas, se llama recta límite de una de las formas a la que contiene a los homólogos de los puntos infinitamente alejados de la otra. La línea del horizonte en el plano del cuadro es recta límite porque es homóloga de los puntos impropios del plano geometral, mientras que la línea de desvanecimiento del plano geometral es recta límite por ser homóloga de los puntos impropios del plano del cuadro.

Si abatimos el plano geometral sobre el plano del cuadro (según la figura inferior), tomando como charnela la línea de tierra, el triángulo ABC y su abatido (A)(B)(C) son también homológicos, según una afinidad definida por un eje (la línea de tierra) y un centro infinitamente alejado en dirección perpendicular al plano bisector entre plano geometral y plano del cuadro.

Como entre ABC y A´B´C´existe una homología, y también existe entre ABC y (A)(B)(C), por el teorema de las tres homologías podemos decir que también son homológicas A´B´C´ y (A)(B)(C). El eje de las tres homologías es la línea de tierra. Los centros de las tres han de estar alineados. Como A´B´C´ y (A)(B)(C) están en el plano del cuadro, también lo ha de estar su centro, que es lógicamente el punto (V), abatimiento del punto de vista V sobre el plano del cuadro.

Fuentes:
- Perspectiva Cónica. Sofía Herrero, Mónica Gómez-Pompa.
- Geometría Descriptiva. Fernando Izquierdo Asensi.
Link:
-  En pespuntos.blogspot.com.es, ver la entrada dedicada al Teorema de Desargues, donde se demuestra, a través de dos construcciones dinámicas de Geogebra, que las dos condiciones que definen la Homología son en realidad consecuencia una de la otra. (Gracias y felicitaciones a la autora ;)

Hilos sueltos...

Otro hilo suelto de la serie "algo que no entendí en clase".
La construcción muestra que la potencia del punto P respecto de cualquier circunferencia que pasa por los puntos A y B es la misma. Sobre esta idea nos apoyaremos próximanente para explicar el Problema Fundamental de Tangencias

Algo que no entendí en clase

A veces, no está mal no entenderlo todo en clase. Los hilos sueltos abren vías de curiosidad y trabajo personal.
La construcción de la imagen inferior muestra que la inversa de una recta t´ (en azul) que no pasa por el centro de inversión I es una circunferencia que sí pasa por el centro I, y que tiene su centro en la perpendicular desde el centro de inversión a dicha recta.
Por ser la inversión una transformación involutiva, la inversa de una circunferencia que pasa por el centro de inversión, es una recta que no pasa por él, de dirección perpendicular al diámetro que contiene al centro de inversión.